A világ elsőrangú szaktekintélyeinek legfrissebb nyilatkozatai alapján úgy tűnik, korunk hét legjelentősebb matematikai rejtélyének egyikét megoldotta egy orosz kutató. Számtalan sejtés viszont még megoldásra vár, s az erre tett kísérleteket a matematikusok - akárhány példa támasztja is alá őket - formális bizonyítás nélkül nem fogadják el.

"Ha ezer évre álomba szenderülnék, majd felébrednék, az első kérdésem az lenne: bebizonyították már a Riemann-hipotézist?" - nyilatkozott egy alkalommal a hat évtizede elhunyt német matematikus, David Hilbert. Nem biztos, hogy az ügy a laikusokat is ennyire izgatja, pedig lehet, hogy matematikusberkeken túl is borzolná a kedélyeket, ha a feltételezés bizonyított tétellé változna.

Ez év nyarán több napilap - például a londoni Guardian - felvetette, hogy a Riemann-hipotézis igazolása végzetes csapást mérhetne a hitelkártyákkal folytatott internetes kereskedelemre, mert a jelenlegi titkosítási módszerek a prímszámok véletlenszerű eloszlásán alapulnak. Márpedig Bernham Riemann 1859-ben éppen az ilyen - önmagukon és az egyen kívül más egész számmal nem osztható - számok eloszlását vizsgálta, és megállapította, hogy bár ezek látszólag rendszertelenül helyezkednek el a számegyenesen, eloszlásuk mégis kapcsolatban áll egy (később Riemann-zétának elnevezett) függvénnyel. A sejtést matematikusgenerációk hiába igyekeztek igazolni, aztán idén június 8-án az Indiana állambeli Purdue Egyetem közleményben azt állította, hogy oktatójuk, a párizsi születésű Louis de Branges de Bourcia megtalálta a bizonyítást. A matematikustársadalom azóta is gyanakodva vizsgálja de Branges dolgozatát, az egyébként nagyra becsült tudós ugyanis már több alkalommal előállt, utóbb hibásnak bizonyult levezetéssel.

Élénken izgatják a matematikusok fantáziáját a háromnál több dimenziójú - józan paraszti ésszel elképzelhetetlen - geometriai alakzatok jellemzői is, merthogy ők számtani formulákkal akárhány dimenziós alakzatokat képesek leírni. A kétdimenziós síkon fekvő x oldal hosszúságú négyzet területe x-szer x (vagyis x a másodikon). Ha ezt a négyzetet a síkjára merőleges irányban x távolságba eltoljuk, háromdimenziós kockát kapunk, melynek térfogata x-szer x-szer x (vagyis x a harmadikon). Az ilyen kocka eltolásával kapott négydimenziós test térfogata x a negyediken, az ötdimenziósé x az ötödiken és így tovább. Az már más kérdés, hogy senki sem tudja elképzelni a kocka ilyen átalakításához szükséges negyedik vagy ötödik irányt (dimenziót) - számolni azonban lehet vele.

A francia Henri Poincaré épp egy évszázada írta le az "egyszeresen összefüggő" alakzatok tulajdonságáról szóló sejtését. A matematikai jelző érvényes például a térbeli, "normál" kockára vagy gömbre, melynek felszínén egy gumigyűrű végigvezethető úgy, hogy az végül egy pontba zsugorodjon össze. Ez nem sikerül, ha ugyanezt a gumigyűrűt egy lukas testre - anyacsavarra vagy kürtőskalácsra - húznánk rá, mert ezek felülete nem egyszeresen összefüggő. Poincaré szerint az egyszeresen összefüggő négydimenziós alakzatok függvényekkel éppúgy átalakíthatók négydimenziós gömbbé, mint ahogyan ez például egy kockával három dimenzióban megtehető (az átalakítás lényege, hogy a kocka minden pontja az új gömb egy pontjává váljon, mintha gyurmából volna, s tenyerünkben gömbbé formálnánk).

A Poincaré-sejtés háromnál több dimenziójú alakzatról szól, így aztán a feladatot a gyakorlatban lehetetlen gyurmával megoldani. Egyenletekkel mégis modellezhető a probléma, melynek jelentősége és érdekessége az elmúlt évszázadban folyamatosan nőtt az időközben benyújtott, majd visszavont számos bizonyítási kísérlet hatására. Továbbá azért, mert különös módon a sejtés négynél magasabb dimenziókra átírt változatait a tudósok az évszázad folyamán sorra igazolták, csupán a negyedik dimenzió látszott kifogni a világ legnagyobb elméin.

Aztán 2002 őszén terjedni kezdett a szóbeszéd, hogy egy orosz matematikus bizonyítást talált a kultikussá vált sejtésre - pontosabban egy annál általánosabb, tehát a sejtés igazolását is tartalmazó tételre. A szentpétervári Szteklov Matematikai Intézetben dolgozó Grigorij Perelman az interneten a nyilvánosság elé tárta levezetését, s mértékadó amerikai egyetemeken személyesen is bemutatta. Legutóbb szeptember elején Keith Devlin, a Stanford Egyetem matematikusa nyilatkozott úgy, hogy a jelenleg is folyó ellenőrzések szerint a bizonyítás helyesnek tűnik.

Ha tényleg az, akkor az válik rejtéllyé, hogy Perelman miért nem publikálja a bizonyítást valamelyik tudományos folyóiratban. Ha megtenné, és levezetésében a tudományos közvélemény két év elteltével sem fedezne fel hibát, 1 millió dolláros pénzjutalom üthetné a markát a Clay Matematikai Intézet jóvoltából. A Poincaré-sejtés ugyanis - akárcsak a Riemann-hipotézis - a massachusettsi intézet szerint a matematika hét legizgalmasabb feladványának egyike. Az orosz kutató azonban vagy nem túl anyagias, vagy kerüli a feltűnést: 1996-ban az Európai Matematikai Társaság neki ítélte - kilenc más tudós mellett - a kontinens legkiválóbb fiatal matematikusainak négyévente kiosztott, pénzjutalommal járó díját, ám ő nem jelent meg a (Budapesten tartott) díjátadáson, s veszni hagyta a pénzt.

A "millenniumi hetek" közé minden bizonnyal bekerült volna a matematikatörténet talán legizgalmasabb és legmakacsabb problémájaként számon tartott nagy Fermat-sejtés, ha arra az 1990-es években - 350 esztendei fejtörés után - nem született volna bizonyítás. A 17. században élt Pierre de Fermat Toulouse város bírájaként szabadidejében olvasgatta a görög Diophantosz Arithmetika című munkáját, s foglalkoztatni kezdték a Püthagorasz görög tudósról elnevezett számhármasok (ilyenek például a 3, 4, 5 vagy az 5, 12, 13, melyeknél az első két szám négyzetének összege egyenlő a harmadik négyzetével). Az ókori görögök is ismerték annak bizonyítását, hogy ilyen egészszám-triókból végtelen sok van. Fermat viszont a könyv e fejezetének margójára a következőket jegyezte fel: "Lehetetlen egy köbszámot felírni két köbszám összegeként, vagy egy negyedik hatványt felírni két negyedik hatvány összegeként; általában lehetetlen bármely magasabb hatványt felírni két ugyanolyan hatvány összegeként." Majd, kissé lejjebb, odafirkantotta matematikusnemzedékeket őrületbe kergető híres kijelentését: "Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskeny, semhogy ideírhatnám."

Pierre de Fermat matematikai megfigyeléseit - köztük eme tételt - fia, Clément-Samuel publikálta, de ő sem bukkant az említett bizonyítás nyomára. A megoldással sokan kísérleteztek - mindhiába. Aztán 1993 júniusában a cambridge-i Isaac Newton Intézetben megrendezett konferencia előestéjén pletykák kezdtek terjedni arról, hogy a Moduláris formák, elliptikus görbék és Galois-reprezentációk - tanultaknak is keveset mondó - címen háromrészes előadást meghirdető Andrew Wiles a nagy Fermat-sejtés bebizonyítására készül. Az amerikai kutató még a második előadása után is titokban tartotta, hová akar kilyukadni hosszú levezetésével. A záró előadáson a zsúfolásig megtelt teremben mégis ott ültek a számelmélet legnagyobbjai, s egy pezsgő is eldurrant, amikor a levezetés végeredményeként Wiles felírta a nagy Fermat-sejtés képletét, és elégedetten kimondta sokat idézett mondatát: "Azt hiszem, itt abba is hagyom." Csakhogy a munkát mégsem hagyhatta abba: a hét év kutatómunkájával megszült, kétszáz oldalas bizonyításban még abban az évben hibát fedeztek fel, mely - úgy tűnt - az egész levezetés érvényességét megkérdőjelezi. Wiles azonban egy tanítványa közreműködésével megmentette a bizonyítást úgy, hogy a levezetés egyik lépését újabbakkal egészítette ki.

Egyébként mire Wiles belefogott a bizonyításba, a Fermat-tétel már az első 30 ezer hatványkitevő esetében bizonyított volt, csakhogy a matematikusok számára nem volt elegendő ez a "néhány aleset" ahhoz, hogy abból a tétel általános voltára következtessenek. Nem véletlenül híresült el a viccben szereplő matematikus, aki Skóciában fekete bárányt látva óva intette tudós kollégáit a helyi állatállomány színével kapcsolatos általánosítástól, mondván, csak annyit állíthatunk, hogy Skóciában van legalább egy rét, melyen legalább egy báránynak legalább az egyik oldala fekete. Az óvatosság indokolt: a 17. században a számtantudorok tudták például, hogy a 31, a 331, a 3331, a 33 331 prímek, s ez sokukat általános érvényű szabály kimondására ösztönözte - míg ki nem derült, hogy a feltételezett szabály mégiscsak megbicsaklik valahol: 17-szer 19 607 843 ugyanis éppen 333 333 331, mely szám tehát nem prím.

SCHWEITZER ANDRÁS

Állj mellénk!

Tegyünk közösen azért, hogy a propaganda mellett továbbra is megjelenjenek a tények! Ha neked is fontos a minőségi újságírás, kérjük, hogy támogasd a munkánkat.
HVG Hetilap

Az örök rejtélyek

Manapság, amikor bányamérnöktől a meteorológusig szinte minden szakma képviselője számítógéppel dolgozik...

A bokrok közül ugrott ki a szarvas, centiken múlott a hatalmas baleset – videó

A bokrok közül ugrott ki a szarvas, centiken múlott a hatalmas baleset – videó

Ismét rakétát tesztelt Kim Dzsong Un

Ismét rakétát tesztelt Kim Dzsong Un

Német turisták haltak meg a madeirai buszbalesetben

Német turisták haltak meg a madeirai buszbalesetben

Orvosi igazolással hordhatnak lapos sarkú cipőt a Norwegian Airnél dolgozó nők

Orvosi igazolással hordhatnak lapos sarkú cipőt a Norwegian Airnél dolgozó nők

A legújabb divat: a nyaraló

A legújabb divat: a nyaraló

Három buliból hazatérő lány elvitt egy csuklós buszt

Három buliból hazatérő lány elvitt egy csuklós buszt