Garri Klimovics Weinstein néven született Azerbajdzsán fővárosában, Bakuban, apja orosz zsidó, anyja örmény volt. Hétéves volt, amikor édesapja meghalt, ezután vette fel anyja örmény vezetékneve, a Gaszparjan oroszosított alakját. Kaszparov sokáig ingadozott a zenei pálya és a sakk között, végül az utóbbit választotta hivatásául. Tizenhárom évesen megnyerte a szovjet ifjúsági bajnokságot, két évvel később meghívottként lett első egy rendkívül erős versenyen, s ekkor döntötte el, hogy sakkozó lesz. Tizenöt évesen az addigi legfiatalabbként indulhatott és rögtön diadalmaskodott is a szovjet bajnokságon. Tizenhét esztendősen érdemelte ki a nemzetközi nagymesteri titulust, első nemzetközi szupertornáját 1982-ben nyerte meg és világbajnokjelölt lett.

Páros mérkőzéseit megnyerve 1984-re elnyerte a jogot a szintén szovjet világbajnok, Anatolij Karpov kihívására. Élő-pontszámát tekintve ekkor már világelső volt, erre ilyen fiatalon addig senki sem volt képes, még Bobby Fischer sem. A Karpov elleni 1984-es címmérkőzés mára legenda lett: a tapasztalt és rendkívül jó formában lévő világbajnok az első kilenc játszma után már 4:0-ra vezetett. Mivel a kiírás szerint a győzelemhez hat nyert partira volt szükség, úgy tűnt, mindenki elkönyvelte Karpov sima győzelmét. Kaszparov ekkor "beásta" magát, s 17 döntetlen következett, de a 27. partit megint elvesztette. Ezután megint döntetlenek hosszú sorozata következett, közben Kaszparov a 32. mérkőzésen megszerezte első győzelmét. Az összecsapás ekkorra már minden addigi rekordot megdöntött, korábban a leghosszabb címmérkőzés Capablanca és Aljechin között "csak" 34 mérkőzésből állt. A megpróbáltatásokat Kaszparov bírta jobban, a 47. és a 48. mérkőzésen is megverte a kimerült Karpovot, de ekkor a nemzetközi sakkszövetség, a FIDE félbeszakította a mérkőzést - addig és azóta is ez az egyetlen világbajnoki döntő, amely eredmény nélkül ért véget.

A megismételt döntőre 1985-ben Moszkvában került sor, ekkor már rögzítették, hogy a két sakkozó 24 partit vált egymással. A győzelmet Kaszparov szerezte meg 13:11 arányban, címét 1986-ban, 1987-ben majd 1990-ben is megvédte az általa afféle örök ellenségként kezelt, a szovjet hatalmat megszemélyesítő Karpovval szemben. A két nagymester között kölcsönös volt az ellenszenv, egy asztalhoz csak a versenyen ültek le.

Sajátságos módon aztán, amikor Kaszparovnak 1990-ben Bakuból az örmények elleni atrocitások miatt el kellett menekülnie, Moszkvában telepedett le és az orosz állampolgárságot is felvette.

Kaszparov folyamatos vitában állt a nemzetközi szövetséggel, amellyel 1993-ban szakmai és anyagi okok miatt szakított. Az ő kezdeményezésére jött létre a profi versenyzők egy részét tömörítő szervezet, amely saját, anyagilag nagyságrendekkel jobban dotált világbajnokságot is szervezett. A nem hivatalos világbajnoki címet Kaszparov 2000-ben elveszítette honfitársával, Vlagyimir Kramnyikkal szemben, ettől függetlenül a világ legerősebb játékosa maradt.

Kaszparov - miután a gyűjteményéből addig hiányzó orosz bajnoki címet is megszerezte - 2005 márciusában bejelentette, hogy felhagy a versenyszerű sakkozással, hogy ereje java részét a politikának szentelje. Társadalmi mozgalmat hozott létre az oroszországi demokrácia védelmére, a Kreml politikája ellen tiltakozó tüntetéseket szervezett. 2007-ben megpróbálkozott az indulással az elnökválasztáson, 2012-ben pedig előállították, amikor tiltakozott a Pussy Riot női punkegyüttes tagjainak elítélése ellen. Kaszparov politikai előadásokat tart, szervező munkát folytat, de az igazság az, hogy a sakk területén jóval sikeresebb volt.

Kaszparov egyedülálló rekordként 1985-től 2006-ig folyamatosan vezette a FIDE ranglistáját. Ő volt az, akinek Élő-pontszáma elsőként került 2800 fölé, ezzel megdöntve egy másik sakklegenda, Bobby Fischer rekordját. Kaszparov pontszámát pártfogoltja, a norvég Magnus Carlsen múlta csak felül a közelmúltban.

Sakkolimpián nyolc alkalommal vett részt, négyszer szovjet, négyszer orosz színekben, és minden alkalommal aranyérmet szerzett, a sakk Oscar-díját rekordnak számító, 11 alkalommal ítélték neki. A világ legerősebb sakkozója több alkalommal mérkőzött meg számítógépekkel: 1996-ban legyőzte a Deep Blue elnevezésű masinát, egy évre rá a továbbfejlesztett változattól kikapott, 2003-ban pedig csak nehézségek árán mentette döntetlenre az X3D Fritz fantázianevű gép elleni összecsapást.

Kaszparov 1999-ben szó szerint a világ ellen állt ki és győzött: minden idők valószínűleg legnagyobb, az interneten négy hónapig zajló mérkőzésén 75 ország 50 ezer sakkozója szavazta meg ellene a lépéseket, de a 62 húzásból álló parti végén fel kellett adniuk a küzdelmet.