hvg.hu: Nyáron mintegy ezer, a matematika tanításával foglalkozó kutatót várnak az ELTE-re a világ minden tájáról egy konferenciára. Miről lesz ott szó? Mi ez a konferencia?

Csapodi Csaba: A CERME13 az European Society for Research in Mathematics Education (ERME) rendezvénye a matematikatanítás módszertanával foglalkozó legnagyobb európai tudományos konferencia. Kétévente rendezik meg, most Budapest, konkrétan az ELTE és a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet nyerte el a rendezés jogát. Harminc tematikus munkacsoport fog dolgozni öt napig, ezekbe tudományos cikkek beküldésével lehet bekerülni. A tematikus munkacsoportok fókusza az alsó tagozattól az egyetemi képzésen át a tanári gyakorlatig nagyon sok mindent lefed. Lesznek persze plenáris előadások is, többek között Lovász László is beszél majd. Ő nagyon támogatta a rendezvényt már MTA-elnökként is.

Csapodi Csaba

Reviczky Zsolt

hvg.hu: Milyen problémák vannak a matematika tanításában? Azt lehet tudni, hogy általában Magyarországon ez a „mumustárgy”. Máshol is így van?

Cs. Cs.: A matematikát évezredek óta tanítják, a szerepét senki nem kérdőjelezi meg, minden országban kötelező iskolai tárgy, és szinte minden országos és nemzetközi mérésben szerepel. De valóban, egy nehéznek tartott tárgy, hiszen elég elvont tudományról van szó. Amíg kézzelfogható dolgokról szól, addig még nincs is semmi baj vele, de amikor elindulunk az absztrakció irányába, akkor elkezdődnek a problémák. Egyik kedvenc példám erre a negatív számok köre. A matematikusok is sokáig azt mondták, hogy nem is léteznek ilyenek, hiszen nem tudták megmutatni, hogy hol is vannak. Úgy ötszáz éve kezdett csak beszivárogni a matematikába, hogy van ilyen, ma pedig egy ötödikes-hatodikos gyerekeknek már kezelnie kell tudni a negatív számokat. Gondoljunk bele! Ha megkérdezem egy gyerektől mennyi 2x3, azt meg tudja mondani. „Veszek 3 darab csokit, a testvéremnek is van 3 darab csokija, az összesen hat.” Ha azt mondom, mínusz 3, az már nehezebb ügy, de még talán megértik a gyerekek, mert látják a hőmérőt, vagy elmagyarázzuk valamilyen „tartozol nekem”-példával. Talán még az is valahogy érthető, hogy mi az a 2-szer mínusz 3, mondjuk, hogy az dupla adósság. Ez azért működik, mert a szorzást azzal vezetjük be, hogy az tulajdonképpen többször ismételt összeadás.

Na, de mi az a mínusz 2 szorozva mínusz 3-mal? Ez már nagyon nehéz.

Hogyan lehet a mínusz 3-at mínusz kétszer összeadni? Megmutatni nem nagyon tudja a tanár, a gyerek nem tudja követlenül megtapasztalni. Komoly matematikai struktúra van amögött, hogy mínusz kettő szorozva mínusz hárommal az plusz hat. Be lehet persze magolni, hogy mínuszszor mínusz az plusz, de ez így biztos nem lesz olyan mély tudás, mint amikor megért valamit a gyerek. És ez csak bonyolódni fog, a hatványozással például. Azt még értem, hogy mennyi 2 a harmadikon, hiszen 2*2*2=8. De mi az, hogy 2 a mínusz harmadikon? Ha megkérdezünk egy gyereket, a legtöbben valami negatív számot fognak mondani, miközben az ugye, 1/8 mert (1 per 2 a harmadikon). Miért ennyi? Mert így illeszkedik bele a matematika struktúrájába. De ezt a struktúrát a diák nem feltétlenül látja át. Vagy ott vannak például az irracionális számok. A legenda szerint az ókori görögök a tengerbe dobták azt, aki azt állította, hogy létezik olyan szám, ami az egységoldalú négyzet átlójának a hosszát adja meg. Ma egy felső tagozatos diáktól már elvárjuk, hogy valami fogalma legyen arról, mi az a gyök2.

hvg.hu: Van, akivel azért sikerül megértetni ezeket. Ez a kisebbség?

Cs. Cs.: Mostanában elgondolkoztam azon, hogy nem az okozza-e a problémák egy részét, hogy olyanok – köztük én magam is – határozzák meg, hogy mit kell megtanítani matematikából, akik értik a matematikát, és nehezen tudják elképzelni, hogy minek a megértése okozhat egy adott életkorban nehézséget. Érdekes kísérlet lenne, ha a matematika tanterv összeállításában részt vehetnének olyanok is, akik nem matematikát tanítanak. Ráadásul azt is nehéz meghatározni, hogy melyik az a megfelelő életkor, amikor egy-egy elvont fogalom érthetővé válik a diákok többsége számára. Ha ezt nem jól határozzuk meg, akkor sokan lesznek olyanok, akik korán elveszítik a fonalat. Írnak egy rossz dolgozatot, hamar rögzül a fejükben, hogy ők matekból gyengék.

Nem azt állítom, hogy lehetetlen dolog megérteni a matematikát, csak azt, hogy túl sok mindent, túl rövid idő alatt kell megtanítani, ez sokaknak okoz nehézséget.

hvg.hu: A matematika elemei egymásra épülnek. Ha valaki nem érti meg az egyiket, akkor az arra épülő következő lépést már esélye sem lesz megértenie. Nem ezért maradnak le sokan?

Reviczky Zsolt

Cs. Cs.: Ha elvesztem valahol a fonalat, akkor utána valóban nagyon nehéz dolgom lesz, nehéz lesz visszakapaszkodni. De miért van az, hogy a negatív számokkal való szorzást például egy ötödikes gyereknek már tudnia kell? Erre legfeljebb az a válasz, hogy azért, mert „ez a hagyomány, én is így tanultam, tanulja meg a büdös kölyök is”! Én benne voltam abban a csapatban, amely a 2020-as kerettantervek matematika részét összeállította. Szokták mondani, hogy ha összeül három matematikus tantervet csökkenteni, akkor a tananyag az egyharmadával nő. Mi viszont tényleg kihúztunk egy csomó mindent. Kevesebb szó szokott esni a közbeszédben a Nemzeti alaptanterv matematika anyagáról, mint a magyarról, történelemről, hiszen a Pithagorasz-tételbe nehéz ideológiailag belekötni, de mi tényleg jelentősen csökkentettük a mindenki számára megtanítandó tananyagot, és amit benne hagytuk, azt igyekeztünk széthúzni, bizonyos nehezebb fogalmakat későbbre tenni. Nyilván, akinek szüksége van a skaláris szorzatra, bonyolult logaritmusos egyenletek megoldására, az tanulja meg a fakultáción, de ne kelljen mindenkinek lenyomni a torkán ezeket.

hvg.hu: Tehát a túlzsúfolt tananyag a matematika népszerűtlenségének a másik oka?

Cs. Cs.: Nagyon nagy a szórás a matek eredményekben. Például az érettségiken nem csak az igaz, hogy sokan teljesítenek gyengén matematikából, hanem az is, hogy sokan érnek el kimagaslóan jó eredményt. Ez megnehezíti a tanítást is. Úgy kellene tanítanom, hogy a matekból gyengébb képességű is értse, amit mondok, és a jó se unatkozzon.

hvg.hu: Erre találták ki a differenciálást.

Cs. Cs.: Így van elméletben, kérdés, mennyire tudnak ezzel élni a tanárok a mindennapi gyakorlatban.

hvg.hu: Az is állandóan felmerül, hogy nem értik a gyerekek, miért is kell tanulni nekik a matekot. Mire fogják használni, mondjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét az életben? Mit lehet erre válaszolni? Mire jó a matematika?

Cs. Cs.: Én a hallgatóimnak mindig azt mondom, hogy erre a kérdésre készüljenek fel, és legyenek jó válaszaik. Legyen kézzelfogható értelme, miért is tanuljuk az adott anyagot. A mostani kerettantervben igyekeztünk beépíteni ilyen válaszokat. Például az egyenes egyenlete (egyáltalán: a koordináta geometria) egy sokszor nehezen érthető anyag. Mi az, hogy 2x plusz 3y egyenlő 5? Ez egy egyenes egyenletének a nehezen érthető alakja. De ha azt mondom, hogy beülsz a taxiba, aminek van egy 1000 forintos alapdíja, meg egy 400 forintos kilométerdíja, és x kilométer taxizás után y=1000 + 400x forintot fogsz fizetni, akkor már mindenki számára érthetővé válik, hogy miről van szó. Ez az összefüggés is egy egyenes egyenletét adja meg, csak szemléletesebb alakban.

Ketté kellene választanunk a matematikából tanultakat. Van az első réteg, amire valóban szüksége van minden embernek az élete során: alapműveletekre, arányosságra, százalékszámításra, terület és felszínszámításra, alapvető statisztikai ismeretekre. Ami ezeken felül van, annak más a szerepe. Magyarórán megkérdezik a diákok, hogy ezt a verset miért tanuljuk, mi hasznunk származik belőle? Nem mindennek van azonnali, közvetlen haszna, amit tanulunk.

A matematika második, a fent említettek feletti rétegét azért tanítjuk, mert gondolkodásra, rendszerezésre, problémamegoldásra nevel. Hogy mást ne mondjak, jó lenne, ha az emberek ugyanolyan átgondoltan oldanának meg bizonyos élethelyzeteket, mint ahogy egy matek feladatot kell.

Nem az a kérdés, hogy valaki hülye-e a matekhoz, hanem az, hogy miben jó

Ma az iskolai tárgyak legnagyobb mumusa a matematika, pedig több frissen megjelent kötet is azt bizonyítja, hogy kifejezetten érdekes tudományról van szó, amely alakítja és meg is magyarázza a körülöttünk lévő világot. Az a jó hírünk van sokak számára, hogy egy matematikus gyakorlatilag feloldozza a matekvakságban szenvedőket, és azt álltja, nem kell mindenkinek matekzseninek lenni.

hvg.hu: Mégis, ha a gyerek felteszi azt a kérdést, hogy miért kell nekem a másodfokú egyenlet megoldó képletét tudni, van erre válasz?

Cs. Cs.: Erre nekem van egy bevett válaszom, pontosabban visszakérdezésem. Megy egymás mellett két egyforma autó, az egyik 30-cal, a másik 50-nel, kiugrik eléjük egy gyerek, egyszerre kezdenek fékezni, a lassabb éppen megáll, mielőtt elütné a gyereket, mennyivel megy ugyanitt a gyorsabb? Az emberek általában úgy tippelnek, hogy 20-szal, és nagyon meglepődnek azon, hogy a valódi válasz: legalább 40-nel. És ha nem hiszik el, akkor az út-sebesség függvénnyel, egy grafikon segítségével tudom bebizonyítani, megértetni velük. Ezt nem tudom megtenni, ha nem tanítom meg nekik a függvényeket, a négyzetgyökvonást, az egyenletmegoldást.

De fontos lett volna néhány matematikai dolog ismerete például a koronavírus idején is, amivel a kapott adatokból ki tudtuk volna hámozni, mi mit jelent. Ezek a példák azt mutatják, hogy gyakran a szó szoros értelmében életbe vágó, hogy legyenek matematikai ismereteink.

hvg.hu: Van a matekról egy olyan elfogadott társadalmi vélemény, hogy nem olyan nagy baj, ha nem tudjuk. „Én mindig hülye voltam matekból” – szokták büszkén mondani az ismert emberek is.

Cs. Cs.: Nem tudom, ez miért alakult így. Lehet, hogy ezek az emberek hamar kudarcot vallottak a matekórákon, nem kaptak elegendő fejlesztő támogatást, egyfelől azért, hogy sikeresebbek legyenek matekból, másfelől azzal kapcsolatban, hogy ők akkor biztosan más területen jók, ahol viszont azok teljesítenek gyengébben, akik matekból jók. Ez a frusztráció kísérheti el őket egész életükben, amit így fejeznek ki.

Reviczky Zsolt

hvg.hu: A matematika tehát egymásra épülő részekből áll, könnyű elveszteni a fonalat, nehéz egy sor dolgot megérteni. Ugyanakkor nincs elég tanár, a koronavírus-járvány alatt sok gyereket el sem ért a távoktatás. Sok olyan gyerek van, akiknek évek estek ki a matematikatanulásból. Volt erről valamilyen kutatás?

Cs. Cs.: Nem tudok arról, hogy lett volna átfogó kutatás a karanténoktatás eredményességéről, és hogy mennyien nem jutottak megfelelő tudáshoz. Azt láttuk, hogy az érettségi átlageredményei nem romlottak érdemben, de a szórás picit nőtt. Ebből arra lehet következtetni, hogy akinek gyenge volt korábban a teljesítménye, az még lejjebb csúszott, hiszen ő nem volt motivált, valószínűleg magától nem tudta megérteni az anyagot, de a jobbak, még akár profitálhattak is a távoktatásból. Nem ment el az idő azzal, hogy az iskolába utazzanak, otthon utánanézhettek dolgoknak, nyugodtan tanulhattak.

hvg.hu: És az, hogy alig vannak matektanárok?

Cs. Cs.: Ennek az okai sokkal mélyebbek, és leginkább ott keresendők, hogy Magyarországon nincsenek megbecsülve a pedagógusok. Nem csak most, ez sokkal régebbi történet. Amikor én 1995-ben elkezdtem a matematika tanárszakra járni azt gondoltam: „Jó, jó, most nem jó a tanárok helyzete, de 5 év múlva már minden rendben lesz.” Azóta sem javul a tanárok helyzete. Ebből következik a kérdés: kik mennek tanárnak? Erre az a válasz, hogy egyfelől azok, akik a nehéz helyzet ellenére kitartanak az elképzelésük mellett, és nem tudják elképzelni magukat más hivatásban. Másfelől persze olyanok, akik jobb híján kezdenek bele a tanárképzésbe, de aztán meggondolják magukat, akár már a képzés során. Én azt látom, hogy azokból a hallgatókból, akik kitartanak a képzés végéig, belőlük jó tanár válhat.

Az egy másik kérdés, hogy aztán hány évig maradnak a pályán, ha egyáltalán elkezdenek tanítani. Nálunk, az ELTE-n egyébként most megállt a matematika tanári szakra jelentkezők számának csökkenése. Vidéken viszont nem így van, és ez azért baj, mert ha elér egy bizonyos kritikus szintet a csökkenés akkor nagyon nehéz megtartani a képzést az adott egyetemeken. Az szerintem pozitív elmozdulás, hogy eddig egy középiskolai tanár hat évig járt egyetemre, most ez lecsökkent öt évre. Az is előrelépés, hogy sokkal több gyakorlati oktatásban lesz része a hallgatóknak. De a lényeget tekintve ezek apró dolgok, igazából akkor lennénk jó helyzetben, ha válogathatnánk a tanárszakra jelentkezők között.

hvg.hu: Ön szerint mit fog okozni a matematikatanításban a mesterséges intelligencia (MI) terjedése? Simán megoldja, akár magyar nyelven is az érettségi feladatokat a ChatGPT, kipróbáltam.

Cs. Cs.: Ez egy annyira új terület, hogy senki nem tudja a választ erre a kérdésre. Az elmúlt hetekben én is próbálgattam megoldatni az MI-vel a felvételi feladatokat. Két hete még nem tudta jól megcsinálni, de tegnap újra megpróbáltam: tökéletesen megoldotta. Ha ilyen gyorsan tanul, akkor megbecsülni sem tudom, hogyan fogja átalakítani az oktatásunkat. Az valószínű, hogy az egész oktatási rendszert át kell alakítanunk. A probléma az, hogy az oktatási rendszer egy hatalmas hajó, nagyon nehezen fordul bármilyen irányba, nem tudom, hogyan tudna ilyen viharos gyorsasággal változó körülményekre reagálni. Azt valószínűsítem, hogy a konkrét ismeretek átadásának a súlya csökkeni fog, a tantárgyi határok homályosabbá válnak majd. Az iskolában nagyobb hangsúly lesz a szociális készségek, a kommunikáció és egyéb ezekhez hasonló kompetenciák erősítésén. Vannak dolgok, amiket (egyelőre) nem tud helyettesíteni a gép, ezekre kell fókuszálnunk.

hvg.hu: Régebben nagyon büszkék voltunk arra, és ez volt a közfelfogás, hogy a magyar matematikaoktatás a világ legjobbjai közé tartozik. A nemzetközi felmérések viszont több mint 20 éve bizonyítják, hogy az OECD-országok rangsora utolsó harmadában kullogunk. Igaz, hogy erős volt ebben a a magyar oktatás, és mára lecsúsztunk?

Cs. Cs.: A matematikai olimpiákon elért helyezésekben ma is jók vagyunk, főleg, ha az ország méretével együtt tekintjük a számokat. Ez örömteli, de engem kicsit a sport olimpiai aranyérmekre emlékeztet. Lehet, hogy az osztrákoknak nincsen annyi olimpiai bajnokuk a nyári olimpiákon, mint nekünk, de ha kimegyek Ausztriába, azt látom, hogy ott a 80 évesek is vígan bicikliznek, míg itthon ilyet nem nagyon tapasztalok. Fontos, hogy legyenek jó sportolóink, de közben jó lenne, ha a nagy átlag is mozogna, egészséges lenne. Nálunk valóban, hagyományosan erős a matematika területén a tehetséggondozás, és ez fontos, meg kell tartani, tovább kell erősíteni ezt a hagyományt. De közben a többiekről sem szabad elfelejtkezni, hiszen ugyanilyen fontos a szélesebb rétegek fejlesztése vagy a lemaradók felzárkóztatása. Jó lenne, ha több idő lenne a készségek megalapozására, ha életszerűbb, a való életben felhasználható tudást nyújtanánk a gyerekeknek, ha a gyerekek számára ismerős kontextusba helyeznénk a matekfeladatokat, és így tovább.

Reviczky Zsolt

hvg.hu: Mit csinálnak máshogy azok az országok, ahol szárnyalnak matekból a gyerekek? Az ázsiai kistigrisek, a skandinávok, az észtek, portugálok?

Cs. Cs.: Nincs csodarecept, és nem is lehet egy az egyben átvenni valamelyik jól teljesítő ország gyakorlatát. Arra például nem vágyom, ami Ázsiában jellemző, ahol nagyon erős versenyhelyzetbe hozzák a gyerekeket, és nagyon erősen kondicionálják őket a tesztekre. Közben azt is látjuk, hogy ezeknek az országoknak egyre több sikere van a nemzetközi olimpiákon is. Valamit mégiscsak tudnak. Megint más egy kis ország helyzete. Nemrég voltam Luxemburgban, ott mondták, hogy ha összehívják az összes iskolaigazgatót, akkor beférnek egy kisebb terembe, ott viszonylag könnyű behozni bármilyen újdonságot. Az észtek valóban hatalmasat léptek előre, de ott más társadalmi háttér a jellemző, mint nálunk. De minden tapasztalatból lehet tanulni, erről is fog szólni a nyári konferencia. Megnézzük, máshol hogyan csinálják, mi történik a különböző országokban, és azokból mit lehetne adaptálni. Ez mind javíthatja kis lépésekben a magyar matematikatanítás helyzetét. De a legfontosabb, hangsúlyozom még egyszer, az lenne, ha motivált, megbecsült tanárok tanítanának. Ugyanis az, hogy mit tanítunk, és azt hogyan tanítjuk, az mind másodlagos ahhoz képest, hogy ki az, aki tanítja.

hvg.hu: Csányi Vilmos nemrég azt mondta, hogy szerinte az iskolák át fognak alakulni gyerekmegőrzőkké, a tudást a gyerekek nem ott fogják megszerezni. Ön hogy látja?

Cs. Cs.: Ezt erős állításnak tartom, de valóban vannak olyanok, akik úgy vélik, hogy azért van az iskola, hogy a szülők el tudjanak menni dolgozni. Ugyanakkor az igaz, hogy elkerülhetetlen az oktatási rendszer teljes átalakulása. A nehézséget az jelenti, amit már korábban is említettünk: nem tudjuk, hogy mire lesz szüksége a diákoknak 10–20 év múlva, márpedig az oktatás átalakítása ilyesfajta időtartamot igényel. Ami biztos: iskolára és az iskolában tanárra továbbra is szükség lesz. Ugyanakkor az kijelenthető, hogy arra a fajta tudásátadásra, amire kitalálták az iskolát 150 éve, ma már nincs szükség. Az viszont még ma is nagyon fontos, hogy milyen a tanár személyisége. Úgy vélem, hogy a tanítás tartalmáról át fog helyeződni a hangsúly a tanítás módjára. Az a lényeg, hogy a gyerekekkel foglalkozzunk, fejlesszük őket, figyeljünk rá, segítsük a megfelelő gondolkozási módszereik kialakulását. És akkor visszatérünk oda, hogy felkészült, megbecsült, motivált pedagógusokra lesz szükség az új világban is