Bognár Péter 1936. május 30-án született Budapesten. A bábszínész-képző stúdió elvégzése óta gyermek és felnőtt műsorokban egyaránt megmutatta karakterszínészi tehetségét; 1965-ben kezdett el dolgozni az Állami Bábszínházban, groteszk humorával emlékezetes pantomimfigurát formált egyebek mellett Gogol Az orr orvosának szerepében. 
 
A gyermekelőadásokban is megcsillantotta sokrétű színészi tehetségét, így a Minden egér szereti a sajtot című bábjáték nagy macska mágusaként, a Varázsfuvola marionett változatában pedig tanúságot tett a speciális bábtechnika kiváló alkalmazásáról is. Számos külföldi turnén öregbítette a magyar bábművészet hírnevét, így Franciaországban, Csehországban, Spanyolországban, Kínában és Ausztriában is. 

A kékszakáll című operett bábváltozatában Bognár Péter megmutatta, igaz a régi színházi mondás, miszerint nincs kis szerep, csak kis színész - szólt elismeréssel az elhunyt bábszínész munkásságáról Dobák Lívia. Hozzátette: a művész sokrétűen oldotta meg epizódfeladatait is, így tette ezt Kodály Zoltán Háry János című darabjában Ferenc császár szerepében, vagy legutóbb a Péter pán egyik kalózaként. 
 
Az évad legjobb epizodistájának járó Aase-díjjal 2001-ben ismerték el munkásságát.